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STATIQUE DES FLUIDES ( COURS )

 
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MessagePosté le: Mar 15 Avr - 15:50 (2008)    Sujet du message: STATIQUE DES FLUIDES ( COURS ) Répondre en citant

 
Statique des fluides 
 
Plan 
1. Pression dans un fluide au repos (en équilibre dans un référentiel galiléen) 
 
Notre sens commun nous fait appréhender un fluide (gaz ou liquide) comme étant de nature très différente d’un solide. Ce dernier a une forme propre qui nous permet de le reconnaître. Liquide ou gaz n’ont pas de forme propre, ils épousent la forme du récipient qui les contient, sont déformables sous la moindre action. Liquide et gaz ont des différences : un liquide, contrairement à un gaz, a un volume défini, il ne remplit pas tout le volume du récipient. 
 
1.1. Etude expérimentale dans le champ de pesanteur 
 
 
 
     
  • Le tube en U avec la membrane élastique est placé dans l’air atmosphérique : la membrane n’est pas tendue.
 
     
  • Nous plaçons l’extrémité avec membrane dans un liquide (ou dans un gaz dont on peut faire varier le volume à l’aide d’un piston) : la membrane élastique est tendue comme indiqué sur la figure ; ceci traduit des efforts du fluide sur la membrane
La forme de la membrane est indépendante de l’orientation de la membrane autour d’un même point, les efforts sur la membrane sont perpendiculaires à celle-ci.
Si le fluide est un liquide, la déformation de la membrane augmente de manière significative avec la profondeur.  
 
Autre expérience : si, dans un récipient contenant un liquide, nous perçons un trou, l’écoulement de liquide se produit perpendiculairement à l’orifice quelque soit l’orientation de ce dernier. 
1.2. Définition de la pression dans un fluide 
 
 
Considérons un fluide en équilibre dans un référentiel lié au sol supposé galiléen et une portion de ce fluide limitée extérieurement par un cylindre élémentaire de révolution d’axe AB horizontal et dont les bases sont, en A une section droite dS, en B la surface plane dS’ dont la normale fait un angle a avec l’axe AB. 
Nous avons
 
Cette portion de fluide n’est pas soumise qu’à son seul poids (voire à d’autres forces dues à un champ extérieur) pour être en équilibre. Elle est soumise à des forces " superficielles " (sur les surfaces délimitant le cylindre) dues au fluide extérieure environnant la portion, les forces internes à la portion n’interviennent pas car elles obéissent au principe de l’action et de la réaction.
Les forces
exercées par le fluide environnant sur les bases (non matérielles) dS et dS’ du volume élémentaire de fluide sont normales à celles-ci (sinon il y aurait glissement entre les couches du fluide puisqu’un fluide se déforme à la moindre action extérieure).
La condition d’équilibre sur l’axe horizontal se traduit par
.
Soit
qui, par définition, est la pression dans le fluide. 
 
La pression p en un point d’un fluide en équilibre est indépendante de l’orientation de l’élément de surface qui sert à la définir. 
La pression est une grandeur scalaire positive, la force de pression est une grandeur vectorielle. 
La pression est la même en tous les points d’un plan horizontal pris dans un fluide en équilibre. 
 
1.3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel galiléen 
 
 
Exprimons la relation d’équilibre pour un élément de fluide en forme de parallélépipède rectangle de dimensions dx, dy et dz à partir du point A de coordonnées x, y et z.
Sur la surface rectangulaire ABFE, nous avons une pression
et, sur la surface rectangulaire DCGH, nous avons une pression
.
Il en est de même sur les autres faces du parallélépipède rectangle en permutant les coordonnées. Les forces dues à des champs de forces extérieures s’écrivent
.
En appliquant les relations d’équilibre de la Mécanique et en projetant suivant la direction Oy, on obtient
Soit encore
;
;
 
Sous forme vectorielle, ces trois dernières relations s’écrivent :
 
 
Remarque : le gradient de pression n’est due qu’aux champs de forces extérieures. 
 
2. Cas d’un fluide au repos dans le champ de pesanteur 
Principe de l’hydrostatique 
 
Le fluide a pour masse volumique m et le champ de pesanteur est le seul champ de forces extérieures.
Dans ce cas
relation équivalente à
si l’axe
est vertical ascendant. Ceci constitue le principe de l’hydrostatique. 
 
Remarque sémantique : nous avons employé le mot "Principe" pour traduire une relation (démontrée à partir du principe fondamental de la Mécanique) ; nous aurions du dire Théorème ; en fait, cela se produit souvent en Physique : ce qui était un Principe à une époque devient un Théorème avec l'avancement des connaissances et, souvent, à tort, on garde la première terminologie. 
 
Autre démonstration : 
 
Dans le champ de pesanteur, on considère une tranche de fluide à l'altitude z d'épaisseur
en équilibre dans un référentiel lié au sol supposé galiléen.
L'axe des z est vertical ascendant, on appelle
la masse volumique du fluide,
et
les intensités par unité de surface des forces extérieures qui s'exercent sur les bords de la tranche.
L'écriture du principe fondamentale de la dynamique conduit à
 
L’augmentation de pression entre une altitude z + dz et une altitude z est due au poids du fluide dans le cylindre de hauteur verticale dz et de surface horizontale unitaire.
L’évolution de pression est donc continue, même à la séparation de deux fluides.
La pression a une altitude z est égale au poids, par unité de surface horizontale, des couches de fluide situées à la verticale au-dessus de z.
Dans un même fluide au repos, les surfaces d’égale altitude sont isobares (même pression).
Dans le système MKSA, les pressions se mesurent en N m-2 que l’on appelle Pascal (Pa). 
Attention, il ne faudrait pas conclure que les forces de pression s’exercent verticalement. Elles s’exercent perpendiculairement à tout élément de surface. 
2.1. Surface de séparation entre deux fluides non miscibles au repos 
 
Considérons deux points de cette surface. Soit dz leur différence d’altitude.
On peut écrire, en négligeant toute discontinuité de la pression à la traversée de la surface de séparation :
ce qui entraîne dz = 0. 
La surface de séparation entre deux fluides non miscibles au repos est plane et horizontale. 
 
L’étude de la stabilité de l’équilibre montrerait que le liquide de densité plus faible se place au dessus de celui de densité plus forte.  
 
2.2. Fluide incompressible (liquide) 
 
La masse volumique est constante et l’intégration du principe de l’hydrostatique donne
Cette relation est souvent appelée principe de Pascal 
 
Applications : baromètre - presse hydraulique 
 
Dans un baromètre à mercure, pour une pression atmosphérique normale, la hauteur h est égale à 760 mm ce qui correspond à

Souvent, les pressions sont exprimées en mm de mercure, en atmosphère ( 1 atm correspond à la pression atmosphérique normale), en bar (1 bar = 105 Pa) ou millibar (mbar).
Nous remarquerons que pour une hauteur d’eau de 3m, la variation de pression est égale à 30000 Pa soit à peu près le tiers de la pression atmosphérique normale. 
A l’échelle humaine courante, les variations de pression sont sensibles dans les liquides. 
 
Un baromètre mesure une pression absolue puisque la pression dans le vide est nulle (pas de masse = pas de poids). Les manomètres qui mesurent les différences de pression seront étudiés en Travaux dirigés et pratiques. 
2.3. Fluide compressible (gaz) 
 
La masse volumique dépend de la pression et nous le verrons de la température. On ne peut intégrer directement la relation dp = -mg dz.
Cependant les masses volumiques des gaz sont faibles (air dans les conditions courantes 1,3 Kg m-3) et, à l’échelle humaine courante, on négligera les variations de pression avec l’altitude dans les gaz.
Seul l’air atmosphérique présente des différences d’altitude suffisantes pour ne pas négliger les variations de pression (il faut compter de l'ordre de 1 km d'altitude pour que les variations de pression deviennent significatives). 
2.4. Théorème d’Archimède et corps flottants 
 
Théorème d’Archimède 
 
Considérons (Fig. a) un corps entièrement immergé dans un fluide homogène au repos. Il occupe un volume V et subit de la part du fluide des forces de pression. 
 
" Tout corps plongé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du fluide de remplacement et appliquée à son centre de masse appelé centre de carène. " 
 
Démonstration : En effet, en l’absence de corps immergé, le fluide de remplacement serait en équilibre sous l’action des forces de pression exercées par le fluide environnant et des forces de pesanteur. La résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant est donc l’opposé du poids du fluide de remplacement. 
Autre démonstration : nous appliquons le théorème du gradient (cas particulier du théorème d’Ostrogradsky) pour la résultante des forces de pression sur une surface fermée S contenant le volume V.
(le vecteur
est orienté vers l’extérieur de la surface fermée). 
On montre aussi que le centre d’application des forces de pression est confondu avec le centre de poussée des forces de pesanteur aplliquées sur le fluide de remplacement.
Ce théorème reste vrai si le corps est immergé dans plusieurs fluides en équilibre. 
 
Statique des corps flottants 
 
Lorsque le poids du liquide de remplacement est supérieur au poids du corps, seule une partie de ce dernier est immergée. Le corps est alors soumis à deux forces : son poids, appliqué au centre de masse C, et la poussée d’Archimède appliquée au centre de carène K. 
A titre d’exemple, considérons l’équilibre d’une boîte parallélépipèdique à section rectangulaire ouverte flottant sur l’eau (Fig. b). Une telle boîte, de dimensions L = 10 m, l = 4 m, h = 3 m et de masse M = 20 t, constitue un modèle simplifié d’une embarcation flottant sur l’eau. Elle s’enfonce dans l’eau d’une hauteur h’ telle que :

Notons que, la boîte étant ouverte et les parois latérales de masse négligeable, le centre de masse C est situé au centre de la base rectangulaire, alors que le centre de carène K est au- dessus de lui à la distance h’/2 . Dans ce cas, l’équilibre est stable : une légère rotation de la boîte autour de l’axe longitudinal passant par le centre de masse produit des oscillations autour de la position d’équilibre. 
 
L’étude de la stabilité de la position d’équilibre n’est pas abordée. 
3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen 
 
En Mécanique, on apprend que le mouvement d’une masse " ponctuelle " m (mieux : le mouvement du centre de masse d’un système matériel de masse totale m) est régi, dans un référentiel non galiléen, par la relation
où on introduit les forces d’entraînement et de Coriolis.
L’absence de mouvement relatif imposent accélération et vitesse relatives nulles et donc
et

Par suite, la relation d’équilibre s’écrit
.
Pour le champ de forces extérieures de pesanteur
 
 
4. Phénomènes de tension superficielle 
 
Une molécule au sein d’un liquide est soumise de la part des autres molécules à des forces de Van der Waals d’origine électromagnétique qui varient en
. Ce type d’interaction décroît très rapidement et peut être négligé au-delà d’une distance de l’ordre d’une dizaine de nanomètres.
A la surface de séparation de deux fluides (liquide-gaz ou liquide-liquide), la situation est différente en particulier l’isotropie des forces qui existe au sein d’un fluide n’est plus la règle et il apparaît un système de forces différent dans la couche capillaire (couche de liquide proche de la surface de séparation de deux fluides et dont l’épaisseur est de l’ordre du nanomètre).
A titre d’exemples, chacun visualisera que l’on peut soulever une pellicule d’eau savonneuse avec un anneau et qu’en soufflant sur cette pellicule on peut former un bulle de savon dont la surface en forme de sphère est tendue. 
4.1. Tension superficielle 
 
 
Les phénomènes observés suggère de traiter la couche capillaire comme une membrane élastique supposée d’épaisseur nulle.
Effectuons une incision de longueur dl dans la couche capillaire. Les lèvres s’écartent ce qui signifie que préalablement à l’incision, la partie droite D de la couche capillaire exerçait sur l’élément dl appartenant à la partie de gauche G une force attractive
A, coefficient de tension superficielle s’exprime en
.
Remarque : La partie droite D de la couche capillaire peut être remplacée par un solide, la force garde la même valeur. 
Liquide  
A (N.m-1
t ( °C
 
Eau 
 
20 
 
Ethanol 
 
20 
Glycérine 
 
20 
Eau 
 
60 
 
 
4.2. Loi de Laplace 
 
     
  • Pour une goutte sphérique de liquide de rayon R dans l’air, si
    est la pression dans le liquide et
    celle dans l’air, on montre que
     
  • Pour une bulle de vapeur de rayon R dans un liquide, si
    est la pression dans le liquide et
    celle de vapeur, on montre que
     
  • Pour une bulle de savon de rayon R, si
    est la pression dans la bulle et
    celle extérieure, on montre que

4.3. Capillarité. Loi de Jurin
 
Plongeons un tube de faible diamètre (capillaire) dans un liquide contenu dans une cuve de grandes dimensions.
Le liquide s’élève dans le tube. Ce phénomène s’appelle capillarité et la loi de Jurin permet d’en rendre compte.
A partir de loi de Laplace, on montre la loi de Jurin :
 
 
L’angle q de contact dépend de l’interface : il est de 0° pour les interfaces eau-verre propre et éthanol-verre propre et respectivement de 140°, 90° et 107° pour les interfaces mercure-verre, eau-argent et eau-paraffine.  
 
4.4. Mesure des tensions superficielles 
 
Il existe plusieurs méthodes de mesure des tensions superficielles. Nous citerons celle utilisant directement la loi de Jurin, celle utilisant l’arrachement d’un solide du liquide et celle utilisant le détachement des gouttes de liquide d’un tube.  
Exercices - types 
 
1 – La figure ci-contre représente une vanne rectan-gulaire (L x l) en coupe verticale destinée à fixer le niveau d’eau (hauteur h) d’une retenue. Cette vanne est articulée à sa base sur un axe OO’ et maintenue au sommet par 2 chaînes parallèles manoeuvrées par un treuil. En position haute (angle a) on supposera la direction des chaînes perpendiculaires à la vanne. 
1) Calculer la poussée sur la vanne due à la pression hydrostatique et son centre d’application.  
 
2) Calculer les efforts transmis aux chaînes (on négligera le poids propre de la vanne) et la réaction de l’axe OO’.
Application numérique : h = 4m ; L = 5m ; l = 6m 
 
2 - On remplit d’eau sur une hauteur h un verre de forme cylindrique. On appelle S la section 
de sa base.
1) Calculer la résultante des forces de pression sur les parois du verre. Interpréter le résultat 
2) Mêmes questions avec un verre en forme de cône, un verre ballon. 
3 - Une vanne de vidange est constituée par un disque de rayon R pivotant autour d’un axe horizontal. Le centre O du disque est positionné à une hauteur h par rapport au niveau d’eau.
1) Calculer la poussée sur le disque et la position du centre de poussée. 
2) Reprendre le calcul dans le cas où le disque est noyé (eau de chaque coté du disque). Ce cas est celui d’une écluse. 
Application numérique : h = 2m ; R = 0,5m 
 
 
 
4 - Une vanne plane verticale de forme rectangulaire (largeur L et de hauteur l), articulée autour d’un axe
(figure ci-dessous), maintient le niveau de deux liquides non miscibles de masses volumiques respectives
. Le niveau du liquide de masse volumique
se situe à une hauteur h (le liquide 1 dépasse l’extrémité haute de la vanne). L’autre liquide de masse volumique
est situé à une hauteur H-h au de dessus du premier liquide. La face de la vanne du côté liquide est complètement noyée dans le liquide de masse volumique
.  
1) Calculer la force de poussée due à la pression hydrostatique du liquide s’exerçant sur la face verticale de la vanne. 
2) Déterminer la position du point d’application C de cette poussée en fonction de
.
On vérifiera que
ð
 
 


 
5 - Une cloche hémisphèrique ( rayon R, épaisseur e<< R, masse m) repose sur un plan horizontal.
Elle contient de l’eau jusqu’à une hauteur h. Un orifice pratiqué au sommet permet de maintenir la pression atmosphèrique à l’interface eau/air. 
L’épaisseur de paroi e est suffisamment faible pour considérer comme identiques les surfaces intérieure et extérieure de la cloche. 

Montrer qu’il existe une hauteur critique
au delà de laquelle l’équilibre est rompu (la cloche se soulève) Application numérique : cloche en verre de densité d = 2,5 telle que e/R = 0,02
 
6 - Etude succincte d’un barrage voûte en forme de
½ cylindre (épaisseur de paroi e, rayon moyen R, hauteur h ; e/R << 1).
Ce barrage est en appui selon AA’ et BB’ (parallèle à l’axe z vertical de la voûte).
Calculer la poussée totale sur le barrage et la réaction des appuis. 
Application numérique : h = R = 100m ; e = 10m  
 
 
 
7 - La figure schématise un manomètre à liquide (masse volumique m) à réservoir de section  
 
constante S ; celle du tube vertical est s. Lorsque
, on a
repérable à travers le tube. Lorsque
, les cotes des deux surfaces libres deviennent
et z, cette dernière cote étant seule repérable. 
1) Exprimer la pression différentielle
en fonction de (
) et de m, g, s, S
 
2) Exprimer la sensibilité
 
3) On incline le tube du manomètre, sa direction faisant un angle a avec le plan horizontal. La position du ménisque le long du tube est repérée par son abscisse Z.
Calculer la nouvelle sensibilité. 
 
8 - Un manomètre différentiel est constitué de deux récipients cylindriques, de sections droites respectives
, reliés par un tube de section intérieure s constante. 
L'ensemble contient deux liquides non miscibles de masses volumiques
1) Initialement, la pression au-dessus des deux liquides est la même et égale à
, la surface de séparation est définie par
.
En déduire une relation entre
 
2) On provoque au-dessus du liquide 1 une surpression
et la surface de séparation des deux liquides se déplace de
.
En déduire la sensibilité
 
A.N.
;
;
 
 
9 - Démontrer la loi de Laplace pour un goutte sphérique de liquide dans de l’air, pour une bulle de vapeur dans un liquide, pour une bulle de savon. 
 
10 – Démontrer la loi de Jurin  


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MessagePosté le: Mar 15 Avr - 15:50 (2008)    Sujet du message: Publicité

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